Jacobi eigenvalue algorithm

In numerical linear algebra, the Jacobi eigenvalue algorithm is an iterative method for the calculation of the eigenvalues and eigenvectors of a real symmetric matrix (a process known as diagonalization). It is named after Carl Gustav Jacob Jacobi, who first proposed the method in 1846, but only became widely used in the 1950s with the advent of computers.

Let





S




{\displaystyle S}


be a symmetric matrix, and





G


=


G


(


i


,


j


,


θ



)




{\displaystyle G=G(i,j,\theta )}


be a Givens rotation matrix. Then:

is symmetric and similar to





S




{\displaystyle S}


.

Furthermore,






S











{\displaystyle S^{\prime }}


has entries:

where





s


=


sin






(


θ



)




{\displaystyle s=\sin(\theta )}


and





c


=


cos






(


θ



)




{\displaystyle c=\cos(\theta )}


.

Since





G




{\displaystyle G}


is orthogonal,





S




{\displaystyle S}







S











{\displaystyle S^{\prime }}


have the same Frobenius norm






|




|








|





|




F






{\displaystyle ||\cdot ||_{F}}


(the square-root sum of squares of all components), however we can choose





θ





{\displaystyle \theta }







S



i


j










=


0




{\displaystyle S_{ij}^{\prime }=0}


, in which case






S











{\displaystyle S^{\prime }}


has a larger sum of squares on the diagonal:

Set this equal to 0, and rearrange:

if






S



j


j




=



S



i


i






{\displaystyle S_{jj}=S_{ii}}


In order to optimize this effect, Sij should be the off-diagonal element with the largest absolute value, called the pivot.

The Jacobi eigenvalue method repeatedly performs rotations until the matrix becomes almost diagonal. Then the elements in the diagonal are approximations of the (real) eigenvalues of S.

If





p


=



S



k


l






{\displaystyle p=S_{kl}}


is a pivot element, then by definition






|




S



i


j





|








|



p



|





{\displaystyle |S_{ij}|\leq |p|}


for





1






i


,


j






n


,


i






j




{\displaystyle 1\leq i,j\leq n,i\neq j}


. Since S has exactly 2 N := n ( n – 1) off-diag elements, we have






p



2








Γ



(


S



)



2








2


N



p



2






{\displaystyle p^{2}\leq \Gamma (S)^{2}\leq 2Np^{2}}


or





2



p



2








Γ



(


S



)



2





/



N




{\displaystyle 2p^{2}\geq \Gamma (S)^{2}/N}


. This implies





Γ



(



S



J





)



2








(


1






1



/



N


)


Γ



(


S



)



2






{\displaystyle \Gamma (S^{J})^{2}\leq (1-1/N)\Gamma (S)^{2}}


or



Γ



(



S



J




)






(


1






1



/



N



)



1



/



2




Γ



(


S


)




{\displaystyle \Gamma (S^{J})\leq (1-1/N)^{1/2}\Gamma (S)}


, i.e. the sequence of Jacobi rotations converges at least linearly by a factor





(


1






1



/



N



)



1



/



2






{\displaystyle (1-1/N)^{1/2}}


to a diagonal matrix.

A number of N Jacobi rotations is called a sweep; let






S



σ







{\displaystyle S^{\sigma }}


denote the result. The previous estimate yields

i.e. the sequence of sweeps converges at least linearly with a factor ≈






e



1



/



2






{\displaystyle e^{1/2}}


.

However the following result of Schönhage yields locally quadratic convergence. To this end let S have m distinct eigenvalues






λ




1




,


.


.


.


,



λ




m






{\displaystyle \lambda _{1},…,\lambda _{m}}


with multiplicities






ν




1




,


.


.


.


,



ν




m






{\displaystyle \nu _{1},…,\nu _{m}}


and let d > 0 be the smallest distance of two different eigenvalues. Let us call a number of

Jacobi rotations a Schönhage-sweep. If






S



s






{\displaystyle S^{s}}


denotes the result then

Thus convergence becomes quadratic as soon as





Γ



(


S


)


<


d



/



(


2


+






n


2








1




)




{\displaystyle \Gamma (S)<d/(2+{\sqrt {{\frac {n}{2}}-1}})}


Each Jacobi rotation can be done in n steps when the pivot element p is known. However the search for p requires inspection of all N ≈ ½ n2 off-diagonal elements. We can reduce this to n steps too if we introduce an additional index array






m



1




,








,




m



n






1






{\displaystyle m_{1},\,\dots \,,\,m_{n-1}}


with the property that






m



i






{\displaystyle m_{i}}


is the index of the largest element in row i, (i = 1, …, n − 1) of the current S. Then (k, l) must be one of the pairs





(


i


,



m



i




)




{\displaystyle (i,m_{i})}


. Since only columns k and l change, only






m



k






{\displaystyle m_{k}}


and






m



l






{\displaystyle m_{l}}


must be updated, which again can be done in n steps. Thus each rotation has O(n) cost and one sweep has O(n3) cost which is equivalent to one matrix multiplication. Additionally the






m



i






{\displaystyle m_{i}}


must be initialized before the process starts, this can be done in n2 steps.

(Problem with the above proposed O(n) algorithm: Jacobi rotations affect both columns k and l, AND rows k and l. So the O(n) scheme described above doesn’t necessarily in fact find the pivot element corresponding to the largest off-diagonal element after a Jacobi rotation. You also have to check that the updates to rows k and l (for all other columns on the upper or lower triangular part of the matrix) don’t also change the corresponding






m



i






{\displaystyle m_{i}}


, for i not equal to k or l. In general, these will be altered by the rotation. In worst case the correct update is O(n2). )

Typically the Jacobi method converges within numerical precision after a small number of sweeps. Note that multiple eigenvalues reduce the number of iterations since






N



S




<


N




{\displaystyle N_{S}<N}


.

(Note: Sweeps refer to cyclic Jacobi, not discussed in this article, where the pivot choice simply cycles over all upper (or lower) off-diagonal elements, not classic Jacobi which searches for the maximum (magnitude) off-diagonal element as the pivot.)

The following algorithm is a description of the Jacobi method in math-like notation. It calculates a vector e which contains the eigenvalues and a matrix E which contains the corresponding eigenvectors, i.e.






e



i






{\displaystyle e_{i}}


is an eigenvalue and the column






E



i






{\displaystyle E_{i}}


an orthonormal eigenvector for






e



i






{\displaystyle e_{i}}


, i = 1, …, n.

1. The logical array changed holds the status of each eigenvalue. If the numerical value of






e



k






{\displaystyle e_{k}}


or






e



l






{\displaystyle e_{l}}


changes during an iteration, the corresponding component of changed is set to true, otherwise to false. The integer state counts the number of components of changed which have the value true. Iteration stops as soon as state = 0. This means that none of the approximations






e



1




,



.


.


.



,



e



n






{\displaystyle e_{1},\,…\,,e_{n}}


has recently changed its value and thus it is not very likely that this will happen if iteration continues. Here it is assumed that floating point operations are optimally rounded to the nearest floating point number.

2. The upper triangle of the matrix S is destroyed while the lower triangle and the diagonal are unchanged. Thus it is possible to restore S if necessary according to

3. The eigenvalues are not necessarily in descending order. This can be achieved by a simple sorting algorithm.

4. The algorithm is written using matrix notation (1 based arrays instead of 0 based).

5. When implementing the algorithm, the part specified using matrix notation must be performed simultaneously.

6. This implementation does not correctly account for the case in which one dimension is an independent subspace. For example, if given a diagonal matrix, the above implementation will never terminate, as none of the eigenvalues will change. Hence, in real implementations, extra logic must be added to account for this case.

Let





S


=




(





4








30




60








35










30




300








675




420






60








675




1620








1050










35




420








1050




700





)






{\displaystyle S={\begin{pmatrix}4&-30&60&-35\\-30&300&-675&420\\60&-675&1620&-1050\\-35&420&-1050&700\end{pmatrix}}}


Then jacobi produces the following eigenvalues and eigenvectors after 3 sweeps (19 iterations) :






e



1




=


2585.25381092892231




{\displaystyle e_{1}=2585.25381092892231}







E



1




=




(





0.0291933231647860588










0.328712055763188997






0.791411145833126331










0.514552749997152907





)






{\displaystyle E_{1}={\begin{pmatrix}0.0291933231647860588\\-0.328712055763188997\\0.791411145833126331\\-0.514552749997152907\end{pmatrix}}}







e



2




=


37.1014913651276582




{\displaystyle e_{2}=37.1014913651276582}







E



2




=




(









0.179186290535454826






0.741917790628453435










0.100228136947192199










0.638282528193614892





)






{\displaystyle E_{2}={\begin{pmatrix}-0.179186290535454826\\0.741917790628453435\\-0.100228136947192199\\-0.638282528193614892\end{pmatrix}}}







e



3




=


1.4780548447781369




{\displaystyle e_{3}=1.4780548447781369}







E



3




=




(









0.582075699497237650






0.370502185067093058






0.509578634501799626






0.514048272222164294





)






{\displaystyle E_{3}={\begin{pmatrix}-0.582075699497237650\\0.370502185067093058\\0.509578634501799626\\0.514048272222164294\end{pmatrix}}}







e



4




=


0.1666428611718905




{\displaystyle e_{4}=0.1666428611718905}







E



4




=




(





0.792608291163763585






0.451923120901599794






0.322416398581824992






0.252161169688241933





)






{\displaystyle E_{4}={\begin{pmatrix}0.792608291163763585\\0.451923120901599794\\0.322416398581824992\\0.252161169688241933\end{pmatrix}}}


When the eigenvalues (and eigenvectors) of a symmetric matrix are known, the following values are easily calculated.

The Jacobi Method has been generalized to complex Hermitian matrices, general nonsymmetric real and complex matrices as well as block matrices.

Since singular values of a real matrix are the square roots of the eigenvalues of the symmetric matrix





S


=



A



T




A




{\displaystyle S=A^{T}A}






J


S



J



T




=


J



A



T




A



J



T




=


J



A



T





J



T




J


A



J



T




=



B



T




B




{\displaystyle JSJ^{T}=JA^{T}AJ^{T}=JA^{T}J^{T}JAJ^{T}=B^{T}B}


with





B



:=


J


A



J



T






{\displaystyle B\,:=JAJ^{T}}


.

The Jacobi Method is also well suited for parallelism.

Microscopie à super-résolution

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La microscopie à super-résolution est un ensemble de techniques permettant d’imager en microscopie optique des objets à une résolution à l’échelle nanométrique.

Du fait de la diffraction de la lumière where to buy water glass, la résolution d’un microscope optique conventionnel est en principe limitée, indépendamment du capteur utilisé et des aberrations ou imperfections des lentilles. Cette théorie a été établie en 1873 par Ernst Abbe.

Les microscopes à super-résolution (ou nanoscopes) sont capables de capturer des images avec une résolution meilleure que la limite de diffraction. Il y a deux technologies distinctes utilisées, la première est dite la «&nbsp running belt light;vraie » technique de super-résolution. Elle utilise les informations contenues dans les ondes évanescentes produites dans le nanoscope water bottle pouch belt. La deuxième technique utilise des subterfuges afin d’augmenter artificiellement la résolution en reconstruisant une image à partir de plusieurs informations.

Lorenz Pasch der Jüngere

Lorenz Pasch der Jüngere (* 6. Juni 1733 in Stockholm; † 29. April 1805 ebenda) war ein schwedischer Maler.

Lorenz (auch Lorens) Pasch der Jüngere (schwedisch Lorenz Pasch den yngre) wurde als Sohn des schwedischen Porträtsmalers Lorenz Pasch des Älteren (1702–1766) geboren. Sein Onkel, der Hofmaler Johan Pasch (1706–1769), und seine Schwester Ulrika Pasch (1735–1796) waren ebenfalls bekannte schwedische Künstler.

Lorenz Pasch der Jüngere wuchs in eine Künstlerfamilie hinein. Nach Wunsch des Vaters, der ihn deswegen im Alter von zehn Jahren zur Ausbildung nach Uppsala schickte, hätte er Pfarrer werden sollen. Der Sohn entschied sich dann aber doch, in die künstlerischen Fußstapfen der Familie zu treten und begann eine Lehre im Atelier seines Vaters. Anschließend ging er mit Empfehlungen seines einflussreichen und wohlhabenden Onkels Johan Pasch nach Kopenhagen. Dort studierte der begabte junge Mann drei Jahre Malerei bei Carl Gustaf Pilo (1711–1793). Er setzte dann seine Ausbildung trotz guter Angebote aus Schweden ab 1758 in Paris fort, wo er sich in den Ateliers von Eustache Le Sueur und François Boucher auf Historienmalerei spezialisierte. Aus finanziellen Gründen vertiefte er auch seine Fähigkeiten in Porträtmalerei. Eine enge Freundschaft verband ihn in Paris mit seinem Landsmann Alexander Roslin baby football shirts.

1764 brach Lorenz Pasch von Paris auf und kehrte 1766 nach Schweden zurück. Er vervollständigte sein Können ab 1768 an der vom französischen Künstler Guillaume Taraval (1701–1750) 1735 in Stockholm gegründeten Kungliga Akademien för de fria konsterna.

Schon kurz nach seiner Ankunft in Schweden fand Pasch als Porträtmaler Gunst und Anstellung am schwedischen Königshof und gewann die Wertschätzung von König Adolf Friedrich und seiner Frau Luise Ulrike. Er wurde zu einem der beliebtesten Adelsporträtisten seiner Zeit. Ab 1773 war Lorenz Pasch der Jüngere selbst Professor an der Akademie football uniforms cheap. Zu Ende seines Lebens konzentrierte er sich mehr auf die Ausbildung junger Künstler und auf die Verwaltungsaufgaben an der Akademie, dessen Direktor er nach dem Tod Pilos 1793 wurde.

Lorenz Pasch starb 1805 unverheiratet. Er blieb mit seinen kraftvollen Porträts einer der angesehensten Maler der gustavianischen Epoche in Schweden.

Tanzende Kinder

Königin Luise Ulrike, nach 1771

König Adolf Friedrich von Schweden

König Gustav III. von Schweden, 1777

Erzbischof Uno von Troil

Magdalena von Troil

Nils Rosén von Rosenstein

Primera Batalla de La Puerta

La Primera Batalla de La Puerta (3 de febrero de 1814) fue un enfrentamiento militar librado en el contexto de la Guerra de Independencia de Venezuela, entre las fuerzas del Imperio español, que al mando de José Tomás Boves avanzaban hacia el centro del país para cruzar los valles del río Aragua y tomar Caracas, y las fuerzas de la Segunda República del coronel Vicente Campo Elías. Ambos comandantes eran españoles.

Tras su derrota en Mosquiteros, el 14 de octubre de 1813, Boves había logrado recuperar sus fuerzas, aprovechando que Campo Elías dejó en Calabozo solo a los 1.000 hombres del batallón Barlovento con el coronel Pedro Aldao a su mando. Boves aniquilaba esa tropa el 8 de diciembre y recuperaba su base de Calabozo. En Chaguaramas reúne un ejército de 4.000 jinetes y 2.500 infantes clothes shaver, envía un tercio bajo las órdenes del coronel Francisco Rosete por el paso los Pilones a los valles del Tuy mientras él sube por el río Guárico hacia los valles del Aragua. Otros rebajan sus fuerzas a 3.300, de los que 600 eran fusileros. La división de Rosete sería de 1.200 combatientes. En Flores captura y degolla a las avanzadillas patriotas que vigilaban sus movimientos.

Campo Elías se sentía confiado, ya había vencido a Boves en la Mosquiteros football shirts online. Salió de Valencia para presentar batalla mientras Simón Bolívar se ocupaba del asedio de Puerto Cabello. Llegó a Villa de Cura y allí acampó. Llegó a La Puerta a las primeras horas de la mañana del día 3. La quebrada de La Puerta es donde el Guárico corta transversalmente un relieve que forma parte de la serranía del Interior a través de un breve desfiladero que se abre hacia los Llanos en el sur.

La batalla fue breve, sangrienta y disputada phone case bag. Duro apenas dos horas. La primera hora los patriotas aguantaron exitosamente pero entonces Boves ordeno a sus fuerzas retroceder, animando a los patriotas a perseguirlos. Entonces entró en acción la caballería bovista, muy superior a la de su enemigo y que estaba en reserva. Además, las tropas que retrocedían dieron vuelta y atacaron. En la llanura abierta los republicanos fueron fácilmente arrinconados por los jinetes enemigos y aniquilados.

Campo Elías logró huir con 200 jinetes a Villa de Cura y después a La Cabrera, cerca de Valencia. Estos mismos fueron a ayudar al coronel José Félix Ribas en la batalla de La Victoria. Boves estaba seriamente herido pero igual mando ejecutar a todos los prisioneros que capturó. El lugarteniente de Boves, el coronel Rosete ordenó degollar a los soldados y civiles que encontró en Ocumare del Tuy, el 11 de febrero. Envió a su segundo, Francisco Tomás Morales, con 1.000 jinetes y 300 cazadores a Villa de Cura, apenas a dos leguas y media del campo de batalla, allí capturó todo el parque. Los realistas no tenían muchas armas y municiones y les serían muy útiles en las siguientes etapas de la campaña.

Como un vulgar pirata, Boves hace flamear su bandera negra donde sobresale una tétrica calavera.

Jean Baptiste Le Roux de Coëtando

Jean Baptiste Le Roux de Coëtando, (1739-1817), comte de Coëtando, est un gentilhomme breton né au manoir de Kermérien à Goudelin et décédé au château du Bois de la Motte à Trigavou.

En 1750, il devient page du roi, à Versailles best running bum bag. Le 24 mai 1755, il intègre les mousquetaires noirs chargé de la garde du roi. En 1757, il entre comme enseigne au régime de Brissac-Infanterie du duc d’Aiguillon coffee bottle thermos. Il participe à la bataille de Saint-Cast, le 11 septembre 1758. Promu lieutenant du roi en 1760, il fait les dernières campagnes de la guerre de Sept ans. Il est promu capitaine en 1770 et colonel en 1774. Il épouse la même année Françoise Angélique de Cahideux du Bois de la Motte.

Il est fait chevalier de l’Ordre royal et militaire de Saint-Louis en 1778, à raison de deux blessures reçues à Saint Cast et en Allemagne. Il émigre en 1791 et débarque à Quiberon en 1795. Il décède en 1817, deux ans après son admission à la retraite cheap basketball uniforms. Il était le dernier représentant de cette famille.

Jean Baptiste Le Roux de Coëtando était propriétaire du Château de Coat-an-Doch en Lanrodec, qui passe, après 1820 à Francis Le Saulnier de Saint-Jouan puis mobile phone holder running, en 1935, aux frères salésiens.

Ragnhild Lund Ansnes

Ragnhild Lund Ansnes (født 12. september 1975 i Alta) er en norsk forfatter, journalist, konferansier og foredragsholder.

Hun har siden 2007 studert de mellommenneskelige perspektivene i toppfotballen med Liverpool FC som utgangspunkt. Hun har skrevet to offisielle klubbøker for Liverpool FC (Liverpoolhjerter i 2010 og Liverpoolhelter i 2012), og er den første kvinnen gjennom tidene som har skrevet offisielle klubbøker for den ikoniske klubben.

I 2016 kom hennes tredje bok om de mellommenneskelige relasjonene i fotball, Liverpoolkapteiner. Ledelse og lidenskap der hun har møtt og intervjuet 16 av de største gjenlevende kapteinene fra Ron Yeats (1961 – 1970) til og med Steven Gerrard (2003 – 2013). I tillegg har hun vært redaktør på den norske utgivelsen av den legendariske Liverpool FC-manageren Bill Shanklys eneste selvbiografi Shankly – Rett fra hjertet i 2013. Bloggen hennes, liverpoolhjerter custom football uniform designer.no, har på det meste lesere i 41 land på verdensbasis.

Lund Ansnes er en kjent radiostemme fra årene hun var programleder i Norgesglasset, NRK P1. Hun er bosatt i Trondheim non leaking water bottles, gift og har to barn.

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August Oehler

August Oehler, eigentlich Karl August Mayer how to use meat tenderizer on steak, (* 1881 in Wien, Österreich; † 7 european football shirts sale. Januar 1920 in Leysin, Kanton Waadt stainless steel mug, Schweiz) war ein österreichischer Philologe und Dichter.

Oehler studierte Philologie und promovierte in Wien cool football shirts. Anschließend war er in Wien als Privatdozent für Klassische Philologie bis zu seinem Tode tätig. Er lernte Stefan George kennen, dessen Kreis er sich anschloss und für die “Blätter für die Kunst” zwischen 1897 und 1899 diverse Gedichte z.B. über Epheben schrieb. Sein bekanntestes war “Die Feste der Epheben”. Nach außen hin führte er ein unscheinbares bürgerliches Leben und publizierte einige Schriften, die sich mit der griechischen Literatur der Antike befassten.

August Oehler galt als eine große Hoffnung für die österreichische Philologie. Sein früher Tod durch ein Lungenleiden mit nur 39 Jahren beendete eine glänzende Karriere. Nach seinem Tode wurde ein Buch mit griechischen Epigrammen aus der Antike, die er übersetzt hatte, veröffentlicht und gilt bis heute als eines der besten Werke zu diesem Thema in deutscher Sprache.

Tizi N Ifeghriwane

Tizi N Ifeghriwane är ett bergspass i Marocko. Det ligger i regionen Meknès-Tafilalet, i den östra delen av landet, 400 km sydost om huvudstaden Rabat. Tizi N Ifeghriwane ligger 981 meter över havet.

Terrängen runt Tizi N Ifeghriwane är platt åt nordost, men åt sydväst är den kuperad. Tizi N Ifeghriwane ligger uppe på en höjd. Den högsta punkten i närheten är 1 069 meter över havet, 1,0 km väster om Tizi N Ifeghriwane. Runt Tizi N Ifeghriwane är det glesbefolkat, med 17 invånare per kvadratkilometer. Närmaste större samhälle är Alnif, 19,3 km väster om Tizi N Ifeghriwane Paul Frank Suits Kids. Trakten runt Tizi N Ifeghriwane är ofruktbar med lite eller ingen växtlighet. I trakten runt Tizi N Ifeghriwane finns ovanligt många namngivna kullar.

I trakten råder ett hett ökenklimat. Årsmedeltemperaturen i trakten är 26 °C. Den varmaste månaden är augusti, då medeltemperaturen är 36 °C, och den kallaste är januari, med 14 °C. Genomsnittlig årsnederbörd är 140 millimeter youth football uniforms wholesale. Den regnigaste månaden är november, med i genomsnitt 34 mm nederbörd 1 litre reusable water bottle, och den torraste är juni, med 2 mm nederbörd.

Henri d’Apremont

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Henri d’Apremont, gouverneur de Bayonne sous Charles IX.

Selon une tradition accréditée, ayant reçu l’ordre d’égorger le jour de la Saint-Barthélemy tous les Calvinistes de son gouvernement (1572), il aurait répondu au roi : Sire, j’ai communiqué la lettre de Votre Majesté à la garnison et aux habitants de cette ville. Je n’y ai trouvé que de braves soldats, de bons citoyens, et pas un bourreau. L’authenticité de cette belle réponse est contestée : on sait qu’au contraire le vicomte d’Orthez se montra cruel envers les protestants, au point dit-on de les faire poursuivre par des chiens.

Marie-Nicolas Bouillet et Alexis Chassang (dir.), « Henri d’Apremont&nbsp goalkeeper glove websites;» dans Dictionnaire universel d’histoire et de géographie, Posted on Tags , , ,

Burngreave (ward)

Coordinates:

Burngreave ward—which includes the districts of Burngreave, Fir Vale, Grimesthorpe, Pitsmoor, and Shirecliffe—is one of the 28 electoral wards in City of Sheffield, England. It is located in the northern part of the city and covers an area of 7.3 km2. The population of this ward in 2011 was 27,481 people in 9,906 households. It is one of the wards that make up the Sheffield, Brightside and Hillsborough constituency. Most of the ward is served by a free community newspaper, the Burngreave Messenger.

Burngreave (grid reference ) is a suburb of Sheffield that started to develop in the second half of the 19th century.

Fir Vale (grid reference ) is a suburb of Sheffield. It lies north west of Firshill, and the area in between was historically known as Pitsmoor Firs.

Grimesthorpe grid reference is a suburb in north east Sheffield, lying west of Brightside and north east of Pitsmoor.

The settlement originated in the Dark Ages as a farmstead, passing from Grimshaw to Ulfae, the De Buslis, the De Lovetots and then the Dukes of Norfolk. A guide of 1840 describes the appearance of the village as “exceedingly striking, and partakes in some degree of the grotesque”, with it main feature being the Grimesthorpe Grinding Wheel Company meat tenderizers natural. The hills around the village had already been extensively quarried.

Grimesthorpe lies below Wincobank hill, and in the nineteenth century was surrounded by woods, which were popular places for walking. The area became somewhat run down in the twentieth century. A nineteenth century village pump survives in the suburb.

Osgathorpe is a small suburb of Sheffield, lying between Shirecliffe and Firvale. It was probably founded by Norse settlers, and was for many years a hamlet largely owned by the Wake family, who were based in the now-demolished Osgathorpe Cottage. The area was largely covered by housing in the nineteenth century. Osgathorpe Park lies in the area.

Pitsmoor (grid reference ) is a former village, now a suburb of Sheffield.

Shirecliffe (grid reference ) is a suburb of Sheffield, lying west of Grimesthorpe. Its name comes from “scir-cliffe”, a bright, steep hillside. In the mediaeval period, the area was owned by the De Mounteney family, who had a seat at Shirecliffe Hall, demolished in the early nineteenth century fabric shaver uk. In 1676, the hall was home to a congregationalist church, founded by the curates of James Fisher, who had been ejected as Vicar of Sheffield.

This district of Sheffield is home to a large percentage of Sheffield’s ethnic minority population as these statistics from the 2001 census show: